高二数学椭圆与圆相交类型椭圆的中心在原点 焦点在x轴上,离心率为2分之根号3,它与圆(x-2)的平方+(y-1)的平方=

1个回答

  • (1)∵圆x2+y2-4x-2y+5 2 =0,

    ∴圆(x-2)2+(y-1)2=5 2 ,

    ∴直径AB=2 5 2 = 10 ,

    ∵椭圆中心在原点,焦点在x轴上,

    ∴设椭圆:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0),

    又设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点(2,1)

    ∴x1+x2=4,y1+y2=2,

    把A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入椭圆:x2 a2 +y2 b2 =1,

    得 x12 a2 +y12 b2 =1 x22 a2 +y22 b2 =1 ,∴b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,

    ∴4b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0,

    ∴k=y1−y2 x1−x2 =-2b2 a2 ,

    ∵离心率为 3 2 ,∴c a = 3 2 ,

    ∴c2 a2 =a2−b2 a2 =1-b2 a2 =3 4 ,∴b2 a2 =1 4 ,

    ∴k=y1−y2 x1−x2 =-2b2 a2 =-2×1 4 =-1 2 .

    (2)∵AB的中点是(2,1),斜率k=-1 2 ,

    ∴AB的方程为:y=-1 2 x+2,

    由(1)得a2=4b2,∴椭圆方程为x2+4y2-4b2=0,

    将直线AB的方程y=-1 2 x+2,代入椭圆方程x2+4y2-4b2=0,得:

    x2-4x+8-2b2=0,

    ∴x1+x2=4,x1x2=8-2b2,

    |AB|= (1+1 4 )[16−4(8−2b2)] = 10 ,

    解得b2=3,∴a2=12,

    故椭圆的方程为:x2 12 +y2 3 =1.