Question

a,b,c>0 ,a2+b2+c2+2abc=1 求证：a+b+c

Answer 1

令a+b+c=k,则a^2+b^2+c^2+2abc=1等价于(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+2abc=1

两边同时加上2(a+b+c)-2得(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+2abc+2(a+b+c)-2=2(a+b+c)-1

即k^2+2(abc-ab-bc-ac+a+b+c-1)=2k-1

等价于k^2-2k+1=2(1-a)(1-b)(1-c)

显然a^2