Question

过抛物线y2=4x焦点F的直线L与它交于A,B两点,则弦AB的中点的轨迹方程是多少

Answer 1

2p=4

p/2=1

所以F(1,0)

直线是x=1时,中点就是F

斜率存在时

y-0=k(x-1)

y=kx-k

y²=4x

k²x²-2k²x+k²=4x

k²x²-(2k²+4)x+k²=

x1+x2=(2k²+4)/k²

y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)

=k(x1+x2)-2k

=(2k²+4)/k-2k

=4/k

中点x=(x1+x2)/2=(k²+2)/k²=1+2/k²

y=(y1+y2)/2=2/k

k=2/y

所以x=1+2/(4/y²)=y²/2+1

(1,0)也在曲线上

所以是y²=2(x-1)