【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值；（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标,易证得△ABC是直角三角形,则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高,则面积比等于底边比,由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC,根据相似三角形的性质,即可求得BE、AB的比例关系,由此可求出E点坐标；（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差,可设P点横坐标为m,用m表示出P、Q的纵坐标,然后可得出PQ的长与m的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出PQ最大时,m的值,也就能求出此时P点的坐标．
（1）由题意,得：8-4b+c=0 0.5+b+c=0,解得b=3/2 c=-2；∴y=1/2x²+3/2x-2；
（2）由（1）知：C（0,-2）；则AC²=AO²+OC²=20,BC²=BO²+OC²=5；
而AB²=25=AC²+BC²；∴△ACB是直角三角形,且∠ACB=90°；
∵EF∥AC,∴EF⊥BC；∵S△CEF=2S△BEF,∴CF=2BF,BC=3BF；
∵EF∥AC,∴BE/AB=BF/BC=13/；∵AB=5,∴BE=5/3；OE=BE-OB=-2/3,故E（-2/3,0）；
（3）设P点坐标为（m,1/2m^2+3/2m-2）；已知A（-4,0）,C（0,-2）,
设直线AC的解析式为：y=kx-2,则有：-4k-2=0,k=-1/2；
∴直线AC的解析式为y=-1/2x-2；∴Q点坐标为（m,-1/2m-2）；
则PQ=-1/2m-2-（1/2m^2+3/2m-2）=-1/2m^2-2m；
∴当m=-2,即P（-2,-3）时,PQ最大,且最大值为2．
故当P运动到OA垂直平分线上时,PQ的值最大,此时P（-2,-3）．