Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=[1/4]CD，求证：∠AEF=90°．

Answer 1

解题思路：利用正方形的性质得出AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°，设出边长为a，进一步利用勾股定理求得AE、EF、AF的长，再利用勾股定理逆定理判定即可．

证明：∵ABCD为正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°．

设AB=BC=CD=DA=a，

∵E是BC的中点，且CF=[1/4]CD，

∴BE=EC=[1/2]a，CF=[1/4]a，

在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE²=AB²+BE²=[5/4]a²，

同理可得：EF²=EC²+FC²=[5/16]a²，AF²=AD²+DF²=[25/16]a²，

∵AE²+EF²=AF²，

∴△AEF为直角三角形，

∴∠AEF=90°．

点评：

本题考点： 正方形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．

考点点评： 此题考查正方形的性质，勾股定理、勾股定理逆定理的运用，注意在正方形中的直角三角形的应用．