解题思路：（1）由
f(x)＝
x/1+x]，an+1=f（an）（n∈N+）知：
a
n+1
＝
a
n
a
n
+1
，由此能求出
a
n
＝
1
n
．
（2）由bn+1=（1+bn）2•
b
n
1+
b
n
，知bn+1=bn（bn+1），故
1
n
a
n
+
b
n
=
1
b
n
−
1
b
n+1
，由此利用裂项求法能够证明对一切正整数n≥1都有
1
a
1
+
b
1
+
1
2
a
2
+
b
2
+…+
1
n
a
n
+
b
n
＜2．
（1）∵f(x)＝
x
1+x，an+1=f（an）（n∈N+），
∴an+1＝
an
an+1，…1分
[1
an+1=
an+1
an，…..3分
1
an+1−
1
an=1，…5分
∴{
1
an}是以
1
a1为首项，1为公差的等差数列，
即
1
an＝1+(n−1)×1＝n，
∴an＝
1/n]．…6分
（2）证明：由已知得bn+1=（1+bn）2•
bn
1+bn，
∴bn+1=bn（bn+1），显然bn∈（0，+∞），…7分
∴[1
nan+bn=
1
1+bn=
bn
bn+1=
bn2
bnbn+1=
bn+1−bn
bnbn+1=
1
bn−
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的函数特性；数列的应用．
考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法和不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．
1年前
6
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