Question

已知圆O的圆心在y轴上，截直线l1：3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线l2：3x-4y+37=0相切，求圆O的方程

Answer 1

解题思路：设出圆心与半径，利用圆截直线的弦长、半径、弦心距满足勾股定理，以及圆与直线l₂相切，列出方程求出圆的圆心与半径，即可得到圆的方程．

设圆心M（0，b），半径R．圆M交L₁于AB两点．AB=8，

做MN⊥L₁，交L₁于N点．则N平分AB． AN=4，

连AM，则AM=R．

|MN|=

|4b+3|

32+42=

|4b+3|

5，

|AN|²+|MN|²=R²=16+

(4b+3)2

25，

点M到直线L₂距离d=R（圆M与直线L₂相切），

d²=R²=

(37−4b)2

25，

∴16+

(4b+3)2

25＝

(37−4b)2

25，

16×25=（37-3b+4b+3）（37-4b-4b-3），

8b=34-16×

25

40=24，

b=3，

R²=

(37−4×3)2

25=25，

∴圆M的方程为：x²+（y-3）²=25．

点评：

本题考点： 圆的切线方程；圆的标准方程．

考点点评： 本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，注意圆心坐标的设法，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．