Question

如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上

Answer 1

（1）BG＝AE．

（2）成立．

如图②，

连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分

（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．

正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．

若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF ²＝AE ²＋EF ²＝(AD＋DE) ²＋EF ²＝(1＋2) ²＋2 ²＝13．

∴AF＝

（1）在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；

（2）连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；

（3）根据（2）的结论，求BG的最大值，分析可得此时F的位置，由勾股定理可得答案．