解题思路：（I）利用导数的运算法则可得：f′（x）=[m/x−
1
2
＝
2m−x
2x]（x＞0）．对m分类讨论：当m≤0时，当m＞0时，即可得出其单调区间．
（II）对于任意x1∈[[1/e]，e]，总存在x2∈[0，[π/2]]，使得f（x1）≤g（x2）成立f（x）max⇔≤g（x）max．利用（I）的结论可得f（x）的最大值，利用二次函数的单调性可得g（x）的最大值．
（I）f′（x）=[m/x−
1
2＝
2m−x
2x]（x＞0）．
当m≤0时，f′（x）≤0，此时函数在（0，+∞）单调递减．
当m＞0时，由f′（x）=0，解得x=2m．
令f′（x）＞0，解得0＜x＜2m，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得2m＜x，此时函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，2m），单调递减区间为（2m，+∞）．
（II）对于任意x1∈[[1/e]，e]，总存在x2∈[0，[π/2]]，使得f（x1）≤g（x2）成立f（x）max⇔≤g（x）max．
当m=[1/2]时，f（x）=[1/2lnx−
1
2x，由（I）可知：当x∈[
1
e，1]时，函数f（x）单调递增；
当x∈[1，e]时，函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（x）max=f（1）=-
1
2]．
当x∈[0，
π
2]时，sinx∈[0，1]．
g（x）=2cos2x+sinx+a=2（1-sin2x）+sinx+a=-2sin2x+sinx+2+a=−2(sinx−
1
4)2+
17
8+a．
∴当sinx=[1/4]时，g（x）max=g(
1
4)=a+
17
8．
∴−
1
2≤a+
17
8，解得a≥−
21
8．
∴实数a的取值范围是[−
21
8，+∞)．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
1年前
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