Question

正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过P做BC的垂线,垂足为E,过P作DC的垂线,垂足为F,证明：PA=EF

Answer 1

1）做直角坐标系令C=（0,0）,矢量CB为Y轴,矢量CD为X轴

令B=(0,1)A=(1,1)D=（1,0)

P的轨迹 y=1-x 定义域[1,1]

有P（x,1-x）,E=(0,1-X),F(X,0)

分别求|PA|;|EF|

2）延长FP交AB于G

∵PF⊥CD,ABCD正方形∴PG⊥AB；

∵P在BD上,BD平分直角ABC∴BG=BE；

∵BG=BE,PG⊥AB,AB⊥BC,BE⊥PE∴GBEP是正方形,∴PG=PE

∵BG=BE,ABCD是正方形∴GA=CE

又∵角AGD=角ECF=90°,∴RT△AGP=RT△ECF

∴PA=FE