椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),e=√3/3,过右焦点的直线L与椭圆相交于A、B二点,直线L的斜率为1时,原点到直线L距离为√2/2.
(1)求a,b值
(2)C上是否存在点P,当L绕F转某位置,有向量OP=OA+OB成立,若存在,求P坐标及L方程,若不存在,请说明理由.
(1)解析：∵e=√3/3,∴a=√3c
设直线L方程为x=y+c
∵原点到直线L距离为√2/2,∴|c|/√2=√2/2==>c=1
∴a=√3,b=√2
(2)解析：设直线L方程为x=my+1==>x^2=m^2y^2+2my+1
椭圆：2x^2+3y^2=6
(2m^2+3)y^2+4my-4=0
Y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)
X1+x2=m(y1+y2)+2
设P(x,y)
∵向量OP=OA+OB
∴x=x1+x2=-4m^2/(2m^2+3)+2=6/(2m^2+3)
Y= y1+y2=-4m/(2m^2+3)
代入椭圆：72/(2m^2+3)^2+48m^2/(2m^2+3)^2=6
24(3+2m^2)/(2m^2+3)^2=6
4=(2m^2+3)==>m1=-√2/2,m1=√2/2
∴存在点P(3/2,-√2/2)或P(3/2,√2/2)
直线L方程x=-√2/2y+1或x=√2/2y+1