Question

设α，β是方程4x2-4mx+m+2=0，（x∈R）的两个实根，当m为何值时，α2+β2有最小值？并求出这个最小值．

Answer 1

解题思路：由已知中α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的两个实根，则首先应判断△≥0，即方程有两个实数根，然后根据韦达定理（一元二次方程根与系数）的关系，给出α²+β²的表达式，然后根据二次函数的性质，即可得到出m为何值时，α²+β²有最小值，进而得到这个最小值．

若α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的两个实根

则△=16m²-16（m+2）≥0，即m≤-1，或m≥2

则α+β=m，α×β=[m+2/4]，

则α²+β²=（α+β）²-2αβ=m²-2×[m+2/4]=m²-[1/2]m-1=（m-[1/4]）²-[17/16]

∴当m=-1时，α²+β²有最小值，最小值是[1/2]．

点评：

本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查的知识点是一元二次方程根的颁布与系数的关系，一次函数的性质，其中易忽略，方程有两个根时△≥0的限制，直接利用韦达定理和二次函数的性质求解，而错解为当x=[1/4]时，最小值为-[17/16]．