即右乘一个行满秩矩阵不改变矩阵的秩,为此只需证明左乘一个列满秩矩阵不改变矩阵的秩,再利用转置不改变矩阵的秩即可（为此只需证明B'X=0与A'B'X=0同解）：
若B'X1=0,则A'B'X1=A'（B'X1）=0,从而B'X=0的解均为A'B'X=0的解
若A'B'X2=A'（B'X2）=0,则由于A'X=0的系数矩阵的秩与未知量个数相同所以其仅有零解,从而B'X=0,即A'B'X=0的解均为B'X=0的解
所以A'B'X=0与B'X=0同解,则它们有相同的基础解系,从而s-r（A'B'）=s-r（B'）
所以r（BA）=r（A'B'）=r（B'）=r（B）