Question

已知双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左顶点、右焦点分别为A、F，点B（0，b），若|.BA+.BF|=|

Answer 1

解题思路：通过|

.

BA

+

.

BF

|=|

.

BA

−

.

BF

|，判断三角形ABF的关系，利用三角形的关系，得到a，b，c的关系，结合双曲线a，b，c关系求出双曲线的离心率即可．

因为双曲线

x2

a2−

y2

b2＝1（a＞0，b＞0）的左顶点、右焦点分别为A、F，点B（0，b），

|

.

BA+

.

BF|=|

.

BA−

.

BF|，所以AB⊥BF，三角形ABF是直角三角形，

所以|AB|²+|BF|²=|AF|²．

即：c²+b²+c²=（a+c）²．

∵b²=c²-a²．

∴3c²-a²=（a+c）²．

∴c²-a²-ac=0，

e²-e-1=0，

解得：e=

1+

5

2．e=

1−

5

2（舍去）．

故答案为：

1+

5

2．

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的离心率的求法，能够通过向量的模推出三角形的形状是解题的关键，考查计算能力．