（1）∠OAB=30°
（2）t=3时，PM与⊙O‘相切
（3）
（4）当t=2，t=3.6，t=
-18时，△APQ是等腰三角形.
（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=
∴∠OAB=30°
（2）如图10，连接O‘P，O‘M. 当PM与⊙O‘相切时，有∠PM O‘=∠PO O‘=90°，
△PM O‘≌△PO O‘
由（1）知∠OBA=60°
∵O‘M= O‘B
∴△O‘BM是等边三角形
∴∠B O‘M=60°可得∠O O‘P=∠M O‘P=60°
∴OP=" O" O‘·tan∠O O‘P =6×tan60°=
又∵OP=
t
∴
t=
，t=3
即：t=3时，PM与⊙O‘相切.
（3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E
∵∠BAO=30°，AQ=4t
∴QE=
AQ=2t
AE=AQ·cos∠OAB=4t×
∴OE=OA-AE=
-
t
∴Q点的坐标为（
-
t，2t）
S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ
=
=
=
（
）
当t=3时，S△PQR最小=
（4）分三种情况：如图11.
1当AP=AQ1=4t时，
∵OP+AP=
∴
t+4t=
∴t=
或化简为t=
-18
2当PQ2=AQ2=4t时
过Q2点作Q2D⊥x轴于点D，
∴PA="2AD=2A" Q2·cosA=
t
即
t+
t =
∴t=2
3当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H
AH=PA·cos30°=（
-
t）·
=18-3t
AQ3=2AH=36-6t
得36-6t=4t，
∴t=3.6
综上所述，当t=2，t=3.6，t=
-18时，△APQ是等腰三角形.