Question

2.在锐角△ABC中,若cos²A,cos²B,cos²C的和等于sin²A,s

Answer 1

不失一般性地设：（cosA）^2＋（cosB）^2＋（cosC）^2＝（sinC）^2,则：

（cosA）^2＋（cosB）^2＋2（cosC）^2＝1,

∴2（cosA）^2＋2（cosB）^2＋4（cosC）^2＝2,

∴［2（cosA）^2－1］＋［2（cosB）^2－1］＋2（cosC）^2＝－2（cosC）^2,

∴cos2A＋cos2B＋2（cosC）^2＝－2（cosC）^2,

∴2cos（A＋B）cos（A－B）＋2［cos（A＋B）］^2＝－2（cosC）^2,

∴2cos（A＋B）［cos（A＋B）＋cos（A－B）］＝－2（cosC）^2,

∴－2cosC（2cosAcosB）＝－2（cosC）^2,

∴2cosAcosB＝cosC,

∴2sinCcosAcosB＝sinCcosC,

∴2（sinC/cosC）cosAcosB＝sinC,

∴2tanCcosAcosB＝sin（A＋B）,

∴2tanCcosAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB,

∴2tanC＝（sinA/cosA）＋（sinB/cosB）,

∴2tanC＝tanA＋tanB,

∴tanA、tanC、tanB组成一个等差数列.

同理可证：

（cosA）^2＋（cosB）^2＋（cosC）^2＝（sinA）^2 时,tanB、tanA、tanC成等差数列.

（cosA）^2＋（cosB）^2＋（cosC）^2＝（sinB）^2 时,tanA、tanB、tanC成等差数列.