Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=[1/2AA1，D，M分别是AA1，BC的中点，则DM与

Answer 1

解题思路：建立空间直角坐标系，利用向量求得侧面B₁BCC₁的法向量，利用向量的数量积的求向量DM，与法向量的夹角的余弦值．

分别以AB，AC，AA₁为x，y，z建立空间直角坐标系，如图，设AB=2，则AA₁=4，

则B（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，0，4），D（0，0，2），M（1，1，0），

所以

BC=（-2，2，0），

BB1=（0，0，4），

DM=（1，1，-2），

设侧面B₁BCC₁法向量为

n=（x，y，z），则

n•

BC＝0

n•

BB1＝0，即

−2x+2y＝0

4z＝0，令x=1，则侧面的一个法向量为

n=（1，1，0），

所以

n•

DM=1+1=2，

|n|=

2，

|DM|=

6，

所以cos＜

n，

DM＞=

2

2

6＝

3

3，

所以DM与侧面B₁BCC₁所成的角正弦值为

3

3；

故选D．

点评：

本题考点： 直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查了线面角的求法，本题采用了利用空间向量的数量积解决；关键是适当建立坐标系，正确计算点的坐标以及向量的坐标；属于中档题．