Question

椭圆x²/4+y²=1直线l与椭圆C有且只有一个公共点P,记点P在第一象限时l交xy轴AB且向量OM

Answer 1

设直线l:y=kx+b

则A（0,b）,B（-b/k,0)

将直线方程代入椭圆方程,x²/4+（kx+b)²=1

即（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0

只有一个交点,所以

△=0

(8kb)²-4（1+4k²）*(4b²-4)=0

即4k²-b²+1=0

所以b²=4k²+1

而向量OM=(-b/k,b)

|OM|=根号（-b/k）²+b²）=根号（5+1/k²+4k²)>=3

所以最小值3