设有四边形ABCD,其对角线 AC ⊥ BD.
求证：四边形ABCD各边中点在同一圆上.
证明：设点 E、F、G、H分别为线段AB、BC、CD、DA的中点.连接线段EF、FG、GH、HA.
1、观察△ABD,可知线段 EH 即为△ABC的中位线,所以：
① EH ∥且＝ ½BD；
同理,可证明：
② FG ∥且＝ ½BD；
③ EF ∥且＝ ½AC；
由 ①、② 得：
EH ∥且＝ FG；
∴④ 四边形 EFGH 为平行四边形；
2、已知：
⑤ AC ⊥ BD；
由 ①、③、⑤ 得：
⑥ EH ⊥ EF,即∠HEF = 90°；
由 ④、⑥ 得：
四边形 EFGH 为矩形；
显然,矩形的四个顶点必然位于一个圆上（① 矩形对角线等长且相互平分；② 到同一点距离相等且不为零的点共圆）.
命题证毕.