（2010•上海二模）已知数列{an}满足a1=a - 知识问答

（2010•上海二模）已知数列{an}满足a1=a，a2=2，Sn是数列的前n项和，且Sn＝n(an+3a1)2（n∈N

1个回答

解题思路：（1）由题设条件可知
S
1
＝
a
1
+3
a
1
2
，
a
1
＝2
a
1
，即
a
1
＝0
．由此能够解得a=0．
（2）由题意可知，
S
n
＝
n
a
n
2
，2
S
n
＝n
a
n
(n∈
N
*
)
．所以2S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2）．由此可知数列{a_n}的通项公式a_n=2（n-1）（n∈N^*）．
（3）由题设条件知
S
n
＝
n
a
n
2
＝n(n−1)(n∈
N
*
)
．由此可知T_n=t₁+t₂+…+t_n=
3−
2
n+1
−
2
n+2
＜3(n∈
N
*
)
．从而求得数列{T_n}的上渐近值是3．
（1）∵a1＝a，a2＝2，Sn＝
n(an+3a1)
2(n∈N*)，∴S1＝
a1+3a1
2，a1＝2a1，即a1＝0．（2分）∴a=0．（3分）
（2）由（1）可知，Sn＝
nan
2，2Sn＝nan(n∈N*)．
∴2S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2）．
∴2（S_n-S_n-1）=na_n-（n-1）a_n-1，2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，（n-2）a_n=（n-1）a_n-1．（5分）
∴
an
n−1＝
an−1
n−2(n≥3，n∈N*)．（6分）
因此，
an
n−1＝
an−1
n−2═
a2
1，an＝2(n−1)(n≥2)．（8分）
又a₁=0，∴数列{a_n}的通项公式a_n=2（n-1）（n∈N^*）．（10分）
（3）由（2）有，Sn＝
nan
2＝n(n−1)(n∈N*)．于是，tn＝
Sn+2
Sn+1+
Sn+1
Sn+2−2
=
(n+2)(n+1)
(n+1)n+
(n+1)n
(n+2)(n+1)−2
=
2
n−
2
n+2(n∈N*)．（12分）
∴T_n=t₁+t₂+…+t_n
=(
2
1−
2
3)+(
2
2−
点评：
本题考点：数列递推式；极限及其运算；数列的求和．
考点点评：本题考查数列的综合运用，解题时要注意计算能力的培养．

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