Question

如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，抛物线y=−23x2+bx+c经

Answer 1

解题思路：（1）把点A，B代入抛物线y=

−

2

3

x²+bx+c求得b、c即可，y=0，建立方程求得点D；

（2）四边形OEBF的面积不变，利用三角形全等证得结论即可；

（3）用m分别表示出两个三角形的面积，求差探讨得出答案即可．

（1）把点A（0，2）、B（2，2）代入抛物线y=−

2

3x²+bx+c得

c＝2

−

8

3+2b+c＝2

解得b=[4/3]，c=2；

∴y=−

2

3x²+[4/3]x+2；

令−

2

3x²+[4/3]x+2=0

解得x₁=-1，x₂=3

∴D点坐标为（3，0）．

（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；

∵四边形OABC是正方形

∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°

又∵BF⊥BE

∴∠FBE=90°

∴∠ABF=∠CBE

∴△ABF≌△BCE

∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．

（3）如图，

可以看出S_△BEF=S_梯形OCBF-S_△OEF-S_△BEC

=[1/2]（2+2+m）×2-[1/2]m（2+m）-[1/2]（2-m）×2

=-[1/2]m²+m+2

S_△BED=[1/2]×（3-m）×2

=3-m

两个三角形的面积差最小为0，

即3-m=-[1/2]m²+m+，

解得m=2±

2，

∵E是OC上的动点

∴m=2-

2，

当m=2-

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题综合考查待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点．