Question

已知数列{a n }各项均为正数，其前n项和为S n ，点（a n ，S n ）在曲线（x+1） 2 =4y上．

Answer 1

解（1）∵点（a _n，S _n）在曲线（x+1） ²=4y上．

∴（a _n+1） ²=S _n×4

当n≥2时，（a _n-1+1） ²=S _n-1

两式相减可得S _n-S _n-1=（a _n+1） ²-（a _n-1+1） ²=a _n×4

即（a _n-1） ²=（a _n-1+1） ²

∴（a _n-a _n-1-2）（a _n+a _n-1）=0

∵a _n＞0∴a _n-a _n-1=2∵，（a ₁+1） ²=4S ₁∴a ₁=1

∴数列{a _n}是以1为首项，以2为公差的等差数列

∴a _n=1+2（n-1）=2n-1

（2）∵b _n+1= a b n =2 b n -1

∴b _n+1-1=2（b _n-1）∵b ₁=3

∴b _n-1=2•2 ^n-1=2 ⁿ

∴b _n=2 ⁿ+1

∴T _n=b ₁+b ₂+…+b _n

=2+1+2 ²+1+…+2 ⁿ+1

=

2(1- 2 n )

1-2 +n

=2 ⁿ⁺¹+n-2

∴T _n-6n=2 ⁿ⁺¹-5n-2

令F（n）=2 ⁿ⁺¹-5n-2

∵F（n+1）-F（n）=2 ⁿ⁺¹-5

当n=1时，F（2）＜F（1）

当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…F（3）＞f（2）

∴F（n）最小值为F（2）=-4