Question

已知D是△ABC内部的一点,且AB^2-AC^2=BD^2-DC^2.用向量证明 AD垂直BC

Answer 1

以下直接用字母AB表示向量AB.

由AB^2-AC^2=BD^2-DC^2 可知 AB^2-BD^2-(AC^2-CD^2)=0

因为AB^2-BD^2=(AB-BD)(AB+BD)=(AB-BD)AD;

AC^2-CD^2=(AC+CD)(AC-CD)=(AC-CD)AD;

所以AB^2-BD^2-(AC^2-CD^2)

=(AB-BD)AD-(AC-CD)AD

=(AB-AC+CD-BD)AD

=(CB+CB)AD

=2(CB)(AD)

=0

所以(CB)(AD)=0, 即CB垂直AD.