Question

如图所示，抛物线y=ax 2 +bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+b 1 与两坐标轴分别交于A、D两

Answer 1

（1）根据题意得，

k+ b 1 =3

2k+ b 1 =2 ，

解得

k=-1

b 1 =4 ，

∴直线的解析式是y=-x+4，

根据图象，抛物线经过点B（1，3）、C（2，2）、（0，0），

∴

a+b+c=3

4a+2b+c=2

c=0 ，

解得

a=-2

b=5

c=0 ，

∴抛物线的解析式是y=-2x ²+5x；

（2）当y=0时，-2x ²+5x=0，

解得x ₁=0，x ₂=

5

2 ，

∴点N的坐标是（

5

2 ，0），

∴点P的纵坐标越大，则△PON的面积越大，

当点P是抛物线的顶点时，△PON的面积最大，

此时

4ac- b 2

4a =

- 5 2

4×(-2) =

-25

-8 =

25

8 ，

S _△PON最大=

1

2 ×

5

2 ×

25

8 =

125

32 ；

（3）当x=0时，y=4，

当y=0时，-x+4=0，解得x=4，

∴点A、D的坐标是A（0，4），D（4，0），

设点P的坐标是（x，-2x ²+5x），则

1

2 ×4x=

1

9 ×

1

2 ×4×（-2x ²+5x），

整理得，2x ²+4x=0，

解得x ₁=0，x ₂=-2，

此时点P不在x轴的上方，不符合题意，

∴不存在点P，使得△POA的面积等于△POD面积的

1

9 ．