Question

已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，则n的一个值是______．

Answer 1

解题思路：本题分两种情况讨论n的取值．把47+4n+41998化简为完全平方式的形式，根据化简后的式子得出n．

（1）4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸

=（2⁷）²+2•2⁷•2^2n-8+（2¹⁹⁹⁸）²

∵4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一个完全平方数．

∴2^2n-8=2¹⁹⁹⁸

即2n-8=1998．

∴当n=1003时，4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是完全平方数；

（2）4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸=4⁷+4¹⁹⁹⁸+4ⁿ，

=（2⁷）²+2•2⁷•2³⁹⁸⁸+（2ⁿ）²，

∵4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一个完全平方数．

∴2³⁹⁸⁸=2ⁿ，

∴n=3988．

综上得n=1003或n=3988．

点评：

本题考点： 完全平方数．

考点点评： 本题考查了完全平方数的概念，如果一个数是一个完全平方数，那么一定可以表示为一个数的平方．