Question

平行四边形ABCD,AC=根号2AB,AC、BD相交于M,求证角CMB=角DAB

Answer 1

设AB=a,则,AC=a√2,设BC=x

由AC²+BD²=2(AB²+BC²)得：

2a²+BD²=2(a²+x²)

BD²=2x²,BD=x√2

在三角形ABD中,cos∠ABD=(a²+x²-2x²)/2ax=(a²-x²)/2ax

在三角形CMB中,cos∠CMB=(a²/2+x²/2-x²)/2(√2a/2)(√2x/2)=(a²-x²)/2ax

所以,cos∠ABD=cos∠CMB