Question

已知函数f(x)＝log121−kxx−1为奇函数．

Answer 1

（I）∵f(x)＝log

1

2

1−kx

x−1为奇函数

∴f（-x）=-f（x），

即log

1

2

1+kx

−x−1＝−log

1

2

1−kx

x−1＝log

1

2

x−1

1−kx，

∴[1+kx/−x−1＝

x−1

1−kx]，即1-k²x²=1-x²，整理得k²=1．

∴k=-1（k=1使f（x）无意义而舍去）．

（Ⅱ）∵f(x)＝log

1

2

1+x

x−1．

∴f（a）-f（b）=log

1

2

1+a

a−1-log

1

2

1+b

b−1=log

1

2

1+a

a−1

1+b

b−1

=log

1

2

(1+a)(b−1)

(a−1)(1+b)＝log

1

2

ab−a+b−1

ab+a−b−1．

当a＞b＞1时，ab+a-b-1＞ab-a+b-1＞0，

∴0＜

ab−a+b−1

ab+a−b−1＜1，

从而log

1

2

ab−a+b−1

ab+a−b−1＞log

1

21＝0，

即f（a）-f（b）＞0．

∴f（a）＞f（b）．

（Ⅲ）由（2）知，f（x）在（1，+∞）递增，

∴g(x)＝f(x)−(

1

2)x+m在[3，4]递增．

∵g（x）在区间[3，4]上没有零点，

∴g(3)＝log

1

2

1+1

3−1