Question

设函数f（x）=1-e-x．（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥xx+1；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤xax+1，求a

Answer 1

（1）当x＞-1时，f（x）≥[x/x+1]当且仅当e^x≥1+x

令g（x）=e^x-x-1，则g'（x）=e^x-1

当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数

当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数

于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即e^x≥1+x

所以当x＞-1时，f（x）≥[x/x+1]

（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0

当a＜0时，若x＞-[1/a]，则[x/ax+1]＜0，f（x）≤[x/ax+1]不成立；

当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则

f（x）≤[x/ax+1]当且仅当h（x）≤0

因为f（x）=1-e^-x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）

（i）当0≤a≤[1/2]时，由（1）知x≤（x+1）f（x）

h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）

=（2a-1）f（x）≤0，

h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤[x/ax+1]

（ii）当a＞[1/2]时，由（i）知x≥f（x）

h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）

当0＜x＜[2a?1/a]时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞[x/ax+1]

综上，a的取值范围是[0，[1/2]]