Question

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC= 1 2 AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为

Answer 1

证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．

则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），

M（1，0，

1

2 ），N（

1

2 ，0，0），S（1，

1

2 ，0）．（4分）

（Ⅰ）

CM =(1，-1，

1

2 )，

SN =(-

1

2 ，-

1

2 ，0) ，

因为

CM •

SN =-

1

2 +

1

2 +0=0 ，

所以CM⊥SN（6分）

（Ⅱ）

NC =(-

1

2 ，1，0) ，

设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

则

x-y+

1

2 z=0

-

1

2 x+y=0. 令x=2，得a=（2，1，-2）．

因为 |cos〈a，

SN ＞|=|

-1-

1

2

3×

2

2 |=

2

2 ，

所以SN与片面CMN所成角为45°．