Question

各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则a3+a5a4+a6= ___ ．

Answer 1

解题思路：由等比数列的第3，5及6项成等差数列，根据等差数列的性质得到第5项的2倍等于第3项加上第6项，然后利用等比数列的通项公式化简后，得到关于q的方程，根据q不等于1且各项为正，求出方程的解即可得到满足题意q的值，进而把所求的式子也利用等比数列的通项公式化简后，得到关于q的式子，把q的值代入即可求出值．

由a₃、a₅、a₆成等差数列，得到2a₅=a₃+a₆，

所以2a₁q⁴=a₁q²+a₁q⁵，即2q²=1+q³，

可化为：（q-1）（q²-q-1）=0，又q≠1，

∴q²-q-1=0，解得：q=

1+

5

2或q=

1-

5

2，

因为等比数列{a_n}的各项都是正数，

所以q=

1-

5

2（不合题意，舍去），

所以

a3+a5

a4+a6=

a1q2+a1q4

a1q3+a1q5=[1/q]=

1

1+

5

2=

5-1

2．

故答案为：

5-1

2．

点评：

本题考点： 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．