已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).

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  • 解题思路:(Ⅰ)求出函数f(x)=lnx-ax(a∈R)的导数,令导数大于0求出函数的增区间,令导数小于0,求出函数的减区间

    (Ⅱ)a>0时,用导数研究函数f(x)在[1,2]上的单调性确定出最小值,借助(Ⅰ)的结论,由于参数的范围对函数的单调性有影响,故对其分类讨论,

    (Ⅰ)函数的定义域是(0,+∞)

    ∵f(x)=lnx-ax

    ∴f′(x)=[1/x]-a

    当a≤0时,f′(x)>0,函数在定义域上是增函数;

    当a>0时,令导数为0解得x=[1/a],

    当x>[1/a]时,导数为负,函数在([1/a],+∞)上是减函数,

    当x<[1/a]时,导数为正,函数在(0,[1/a])上是增函数

    (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论知

    当[1,2]⊆[[1/a],+∞)时,即a≥1时,函数函数f(x)在[1,2]上是减函数,故最小值为f(2)=ln2-2a

    当[1,2]⊆(0,[1/a]]时,即0<a<[1/2]时,函数函数f(x)在[1,2]上是增函数,故最小值为f(1)=-a

    当[1/a]∈[1,2]时,函数f(x)在[1,[1/a]]上是增函数,在[[1/a],2]上是减函数,故最小值为min{f(1),f(2)}

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题考查用导数研究函数的单调性,解题的键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系,此类题一般有两类题型,一类是利用导数符号得出单调性,一类是由单调性得出导数的符号,本题属于第一种类型.本题的第二小问是根据函数在闭区间上的最值,本题中由于参数的存在,导致导数的符号不定,故需要对参数的取值范围进行讨论,以确定函数在这个区间上的最值.