Question

设函数f(x)＝x2−x+nx2+x+1(x∈R，x≠n−12，x∈N*)，f（x）的最小值为an，最大值为bn，记cn

Answer 1

解题思路：先利用判别式法求出函数的值域，从而求出a_n与b_n，代入c_n=（1-a_n）（1-b_n），然后判定数列{c_n}的规律．

令y=f(x)＝

x2−x+n

x2+x+1(x∈R，x≠

n−1

2，x∈N*)，

则y（x²+x+1）=x²-x+n

整理得：（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0

△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0

解得：

3+2n−2

n2+1

3≤y≤

3+2n+2

n2+1

3

∴f（x）的最小值为a_n=

3+2n−2

n2+1

3，最大值为b_n=

3+2n+2

n2+1

3

c_n=（1-a_n）（1-b_n）=-[4/3]

∴数列{c_n}是常数数列

故答案为：常数

点评：

本题考点： 数列的函数特性；函数的值域；等差关系的确定；等比关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了分式函数的值域，以及数列的判定，同时考查了计算能力，属于中档题．