解题思路：（1）知道函数是增函数，求参数范围，转化为导函数大于等于0恒成立，用分离参数求最值解决．
（2）为含有参数的绝对值函数的最值问题，关键是去绝对值，需考虑ex-a的正负问题，进行讨论．
去绝对值后转化为关于t的一次函数，利用单调性求最值即可．
（1）f′(x)＝x+
1
x+a−4，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立．
∴a≥4−(x+
1
x)恒成立，
∵x+
1
x≥2，当且仅当x=1时取等号，
∴4−(x+
1
x)＜2，∴a≥2；
（2）设t=ex，则h(t)＝|t−a|+
a2
2，
∵0≤x≤ln3，∴1≤t≤3．
当2≤a≤3时，h(t)＝
−t+a+
a2
2，1≤t＜a
t−a+
a2
2，a≤t≤3，
∴h（t）的最小值为h(a)＝
a2
2，
当a＞3时，h(t)＝−t+a+
a2
2，
∴h（t）的最小值为h(3)＝a−3+
a2
2．
综上所述，当2≤a≤3时，g（x）的最小值为
a2
2，
当a＞3时，g（x）的最小值为a−3+
a2
2．
点评：
本题考点： 函数单调性的性质；函数最值的应用．
考点点评： 本题考查已知函数单调性求参数范围、求函数的最值、分类讨论思想等，综合性较强．