(2013•东莞一模)如图,AA1、BB1为圆柱OO1的母线,BC是底面圆O的直径,D、E分别是AA1、CB1的中点,D

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  • 解题思路:(1)连结EO、OA,由圆柱的性质得四边形AA1B1B是平行四边形,所以DA∥BB1且DA=[1/2]BB1.△B1BC中利用中位线定理,得到EO∥BB1且EO=[1/2]BB1,从而证出四边形AOED是平行四边形,得DE∥OA,结合线面平行的判定定理即可证出DE∥面ABC;

    (2)根据圆的性质得到AB⊥AC,结合AA1⊥AB得到AB⊥面A1AC,由AB∥A1B1得出A1B1⊥面A1AC,再根据面面垂直的判定定理,可得面A1B1C⊥面A1AC;

    (3)由DE⊥面CBB1结合DE∥OA,得OA⊥面CBB1,从而AO⊥BC,结合结合垂直平分线的性质得到AC=AB.由线面垂直判定定理证出AC⊥平面AA1B1B,得AC为四棱锥C-ABB1A1的高.因此设圆柱高为h,底半径为r,可得四棱锥C-ABB1A1体积与圆柱OO1的体积关于h、r的表达式,即可算出四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比.

    (1)连结EO、OA,

    ∵E、O分别为B1C、BC的中点,∴EO∥BB1,EO=[1/2]BB1
    又∵AA1、BB1为圆柱OO1的母线,

    ∴AA1∥BB1、AA1=BB1,可得四边形AA1B1B是平行四边形,

    ∵平行四边形AA1B1B中,DA∥BB1,DA=[1/2]BB1

    ∴DA∥EO,且DA=EO

    四边形AOED是平行四边形,可得DE∥OA

    ∵DE⊄面ABC,OA⊂面ABC,∴DE∥面ABC;…(4分)

    (2)∵AA1、BB1为圆柱OO1的母线,

    ∴四边形AA1B1B是平行四边形,可得AB∥A1B1

    ∵AA1⊥圆O所在的平面,AB⊂圆O所在的平面,∴AA1⊥AB,

    又∵BC是底面圆O的直径,∴AB⊥AC,

    ∵AC∩AA1=A,AC、AA1⊂面A1AC,AB⊥面A1AC,

    ∵AB∥A1B1,∴A1B1⊥面A1AC,

    ∵A1B1⊂面A1B1C,∴面A1B1C⊥面A1AC;…(9分)

    (3)由题意,DE⊥面CBB1,由(1)知DE∥OA,

    ∴OA⊥面CBB1,∴结合BC⊂面CBB1,可得AO⊥BC,得AC=AB.

    ∵AB⊥AC且AA1⊥AC,AB、AA1是平面AA1B1B内的相交直线,

    ∴AC⊥平面AA1B1B,即AC为四棱锥C-ABB1A1的高.

    设圆柱高为h,底半径为r,则V圆柱=πr2h,V四棱锥=[1/3](

    2r)•(

    2r)h=[2/3hr2,

    ∴四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比为

    2

    3hr2

    πr2h]=[2/3π].…(14分)

    点评:

    本题考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.

    考点点评: 本题在圆柱体中求证线面平行、面面垂直,并求四棱锥与圆柱的体积之比.着重考查了线面平行的判定定理、线面垂直与面面的判定与性质、锥体与柱体体积公式等知识,属于中档题.