解题思路：（1）已知函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数，故f′（x）≥0或≤0在[1，+∞）上恒成立，用分离参数求最值即可．
（2）结合（1）中的单调性用反证法考虑．
（1）f′（x）=3x2-a
若f（x）在[1，+∞）上是单调递减函数，
则须y′≤0，即α≥3x2恒成立，
这样的实数a不存在，
故f（x）在[1，+∞）上不可能是单调递减函数；
若f（x）在[1，+∞）]上是单调递增函数，则a≤3x2恒成立，
由于x∈[1，+∞），故3x2≥3，解可得a≤3，
又由a＞0，则a的取值范围是0＜a≤3；
（2）（反证法）由（1）可知f（x）在[1，+∞）上只能为单调递增函数．
假设f（x0）≠x0，若1≤x0＜f（x0），则f（x0）＜f（f（x0））=x0，矛盾； …（8分）
若1≤f（x0）＜x0，则f（f（x0））＜f（x0），即x0＜f（x0），矛盾，…（10分）
故只有f（x0）=x0成立．
点评：
本题考点： 函数单调性的性质；反函数．
考点点评： 本题考查函数单调性的应用：已知单调性求参数范围，及符合函数的求值问题，注意反证法的应用．