Question

如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=[1/2]．过F1的直线l交椭

Answer 1

解题思路：（1）由△ABF₂的周长为8，结合椭圆定义求得a值，再由椭圆离心率求出c，由b²=a²-c²求得b，则椭圆方程可求；

（2）设出直线l的方程为x=ty-1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系求出A，B两点纵坐标的和与积，由

S

△AB

F

2

＝

1

2

|

F

1

F

2

|•|

y

1

−

y

2

|

，整理后代入根与系数关系求得t值，则直线方程可求．

（1）∵|AB|+|AF₂|+|BF₂|=8，

即|AF₁|+|F₁B|+|AF₂|+|BF₂|=8，

又|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，

∴4a=8，a=2．

又∵e＝

1

2，即[c/a＝

1

2]，

∴c=1．

∴b=

a2−c2＝

3．

故椭圆E的方程为

x2

4+

y2

3＝1；

（2）设直线l的方程为x=ty-1．

联立

x＝ty−1

x2

4+

y2

3＝1，得（3t²+4）y²-6ty-9=0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则y1+y2＝

6t

3t2+4，y1y2＝

−9

3t2+4．

由S△ABF2＝

1

2|F1F2|•|y1−y2|=

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题主要考查椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想方法，函数与方程思想，是压轴题．