作AM垂直BP的延长线于M,∠APB=∠BPC=∠CPA=120度,则∠APM=60度.
sin∠APM=AM/PA,AM=PA*sin∠APM=a*sin60° =(√3/2)a.
则:S⊿APB=PB*AM/2=PB*(√3/2)a/2=(√3/4)a*PB.----------------------------------------------------(1)
同理:S⊿APC=(√3/4)a*PC; ------------------------------------------------------------------------------(2)
作CN垂直BP的延长线于N,同样可求得:CN=(√3/2)PC,S⊿PBC=PB*CN/2=(√3/4)PB*PC.-------(3)
∴S⊿ABC=S⊿APB+S⊿APC+S⊿PBC=(√3/4)a*PB+(√3/4)a*PC+(√3/4)PB*PC
=(√3/4)a*(PB+PC)+(√3/4)PA²=(√3/4)a*(2a)+(√3/4)*a²=[(3√3)/4]a².