Question

如图, 在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AC ＝3， BC ＝4， AA 1 ＝4，点 D 是 A

Answer 1

解法一：（I）直三棱柱 ABC － A ₁B ₁C ₁，底面三边长 AC =3， BC =4 AB =5，

∴ AC ⊥ BC ，且 BC ₁在平面 ABC 内的射影为 BC ，∴ AC ⊥ BC ₁；

（II）设 CB ₁与 C ₁B 的交点为E，连结DE，∵ D是 AB 的中点，E是 BC ₁的中点，∴ DE// AC ₁，∵ DE平面 C D B ₁， AC ₁平面 C D B ₁，∴ AC ₁//平面 C D B ₁；

解法二：∵直三棱柱 ABC － A ₁B ₁C ₁底面三边长 AC ＝3， BC ＝4， AB ＝5，∴ AC 、 BC 、 C ₁C 两两垂直，如图，以 C 为坐标原点，直线 CA 、 CB 、 C ₁C 分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 C （0,0，0）， A （3,0，0）， C ₁（0,0，4）， B （0,4，0）， B ₁（0,4，4），D（，2,0）

（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴ AC ⊥ BC ₁.

（2）设 CB ₁与 C ₁B 的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥ AC ₁.

（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.

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