a(1) = S(1) = 1,
n > 1,
a(n) = S(n) - S(n-1) = n^2 - (n-1)^2 = 2n-1,
a(n) = 2n-1,n= 1,2,...
b(n) = a(n)/3^n = (2n-1)/3^n,n = 1,2,...
【b(n)的和要分成2部分,1部分是2n/3^n的和,1部分是1/3^n的和.第2部分的和很简单.先看第1部分的和.】
设
c(n) = 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + ...+ (n-1)/3^(n-1) + n/3^n
3c(n) = 1 + 2/3 + 3/3^2 + ...+ (n-1)/3^(n-2) + n/3^(n-1)
【看到了吧,错位想减.】
2c(n) = 3c(n) - c(n) = 1 + 1/3 + 1/3^2 + ...+ 1/3^(n-1) + 1/3^(n-1) - n/3^n
= [1 - 1/3^n]/[1-1/3] - n/3^n
= 3[1-1/3^n]/2 - n/3^n
T(n) = b(1) + b(2) + ...+ b(n)
= 2/3 - 1/3 + 2*2/3^2 - 1/3^2 + ...+ 2*n/3^n - 1/3^n
= 2c(n) - [1/3 + 1/3^2 + ...+ 1/3^n]
= 3[1 - 1/3^n]/2 - n/3^n - (1/3)[1 + 1/3 + ...+ 1/3^(n-1)]
= 3[1 - 1/3^n]/2 - n/3^n - (1/3)[1 - 1/3^n]/(1-1/3)
= 3[1 - 1/3^n]/2 - n/3^n - [1 - 1/3^n]/2
= 1 - 1/3^n - n/3^n
= 1 - (n+1)/3^n