Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O

Answer 1

解题思路：（1）由等腰三角形三线合一，可得A₁O⊥AC，进而由侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，结合面面垂直的性质定理可得A₁O⊥平面ABC；

（2）由

V

E−BC

C

1

＝

1

12

V

ABC−

A

1

B

1

C

1

，可得

BE＝

1

4

B

A

1

，即

A

1

E＝

3

4

A

1

B

，解Rt△A₁OB求出A₁B，进而可得A₁E的长度

证明：（1）∵AA₁=A₁C=AC=2，且O为AC中点，

∴A₁O⊥AC，

又∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，A₁O⊂侧面AA₁C₁C，

∴A₁O⊥平面ABC．（6分）

（2）VE−BCC1＝

1

12VABC−A1B1C1＝

1

4VA1−BCC1，

因此BE＝

1

4BA1，

即A1E＝

3

4A1B，

又在Rt△A₁OB中，A₁O⊥OB，A1O＝

3，BO=1

可得A₁B=2，

则A₁E的长度为[3/2]．（12分）

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识．同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构．本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．