Question

已知数列{an}满足a1=1,an+1= Sn+n+1,n属于N*,求数列{an}的通项公式

Answer 1

a(n+1)=Sn+n+1

an=S(n-1)+(n-1)+1=S(n-1)+n

相减,Sn-S(n-1)=an

所以a(n+1)-an=an+1

a(n+1)=2an+1

a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)

[a(n+1)+1]/(an+1)=2是一个不等于0的常数,

所以an+1是等比数列

[a(n+1)+1]/(an+1)=2,q=2

令bn=an+1,则b1=a1+1=2

所以bn=2*2^(n-1)=2^n

所以an=bn-1=2^n-1

Sn=(2^1+2^2+……+2^n)-1*n=2*(2^n-1)/(2-1)-n=2^(n+1)-2-n