若α,β∈(0,2/π).cos(α-β/2)=√3/2,sin(α/2-β)=-1/2.则cos(α+β)等于多少?

1个回答

  • cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]

    又∵cos(2α-β)=cos2(α-β/2)

    sin(α-2β)=sin2(α/2-β)

    ∴此题利用倍角公式及三角函数值在各象限内的正负来解

    cos(α+β)

    =cos[(2α-β)-(α-2β)]

    =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)

    cos(2α-β)=2cos²(α-β/2)-1=1/2

    sin(2α-β)=√3/2(2α-β∈(0,π/2)在第二象限,∴sin(2α-β)为正)

    ∵sin(α/2-β)=-1/2(α/2-β∈(-π/4,0)在第四象限,∴cos(α/2-β)为正)

    ∴cos(α/2-β)=√3/2

    ∴sin(α-2β)=2sin(α/2-β)cos(α/2-β)=2*(-1/2)*(√3/2)=-√3/2

    cos(α-2β)=1/2(α-2β∈(-π/2,0)在第四象限,∴cos(α-2β)为正)

    ∴cos(α+β)

    =cos[(2α-β)-(α-2β)]

    =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)

    =(1/2)*(1/2)+(√3/2)(-√3/2)

    =-1/2

    倍角公式:

    sin2α=2sinαcosα

    tan2α=2tanα/(1-tan²(α))

    cos2α=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)

    sina在一二象限为+,在三四象限为-

    cosa在一四象限为+,在二三象限为-

    tga、ctga在一三象限为+,在二四象限为-