Question

（2009•长宁区一模）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn-tSn-1=n（n≥2，n∈N*，t为常数t≠0），且

Answer 1

解题思路：（1）将t=2代入，只需利用已知条件表达出S₁，S₂，S₃即可求得a₂和a₃；

（2）问中通过写出两个关系式，再相减易得a_n-ta_n-1=1，这个递推式明显是一个构造新数列的模型，从而利用{a_n+1}是等比数列，求出t的值；

（3）在（2）的基础上构造等比数列模型，再利用等比数列的求和公式，即可求得，应注意分类讨论．

（1）因为t=2及S_n-tS_n-1=n，得S_n-2S_n-1=n，所以（a₁+a₂）-2a₁=2且a₁=1

，解得a₂=3

同理（a₁+a₂+a₃）-2（a₁+a₂）=3，解得a₃=7

（2）当n≥3时，S_n-tS_n-1=n，得S_n-1-tS_n-2=n-1两式相减得：a_n-ta_n-1=1（**）（6分）

即a_n+1=ta_n-1+2

当t=0时，a_n+1=2显然{a_n+1}是等比数列（7分）

当t≠0时，令b_n=a_n+1，可得b_n=tb_n-1+2-t

因为{a_n+1}是等比数列，所以{b_n}为等比数列，

当n≥2时，b_n+1b_n-1=b_n²恒成立，（8分）

即 [tbn+(2−t)]−

bn− (2−t)

t＝

b2n恒成立，

化简得（t-2）（t+1）b_n-（2-t）²=0恒成立，

即

(t−2)(t+1)＝0

(2−t)2＝0，解得t=2

综合上述，t=0（舍）或t=2（9分）

（3）当t=1时，由（**）得a_n-a_n-1=1

数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以 Sn＝

n(n+1)

2（10分）

当t≠1时，由（**）得a_n=ta_n-1+1

设a_n+k=t（a_n-1+k）（k为常数）

整理得a_n=ta_n-1+（t-1）k

显然 k＝

1

t−1（12分）

所以 an+

1

t−1＝t(an−1+

1

t−1)

即数列 {an+

1

t−1}是以 1+

1

t−1为首项，t为公比的等比数列

所以 an+

1

t−1＝(1+

1

t−1)tn−1，

即 an＝

t

t−1tn−1−

1

t−1

所以 Sn＝

tn+1+(1−t)n−t

(1−t)2

所以 Sn

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 根据题设特征恰当地构造辅助数列，利用基本数列可简捷地求出通项公式，一般地，an=tan-1+1可以变形为an+k=t（an-1+k）（k为常数），则可得{ an+k}是公比为t的等比数列，属于中档题．