解题思路：连接OE，DF，由已知可推出OE∥BF，根据平行线的性质可得到AE：EF=AO：OB，AE：AF=OE：BF⊙，设OB=r，则可求出OA，BF，AD的值，根据已知可推出BC是⊙O的切线，再利用勾股定理可求得r的值，从而可求得BC的长及∠CBF的正弦值．
解法一：连接OE，DF；
∵E是
DF的中点，BD是⊙O的直径，
∴OE⊥DF，∠DFB=90°，
∴OE∥BF，（1分）
∴AE：EF=AO：OB，AE：AF=OE：BF；
∵AE：EF=3：1，
∴AO：OB=3：1，AE=3EF，OE：BF=3：4；
设OB=r，则AO=3r，BF=[4/3]r，（2分）
∴AD=2r；
∵AE•AF=AD•AB，
∴3EF•4EF=2r•4r，
∴EF=
6
3r；（3分）
∵∠ABC=90°，DB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线，
∴BC2=CF•CE=4（4+EF）；
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC2=AC2-AB2=（4EF+4）2-（4r）2，
∴4（4+EF）=（4EF+4）2-（4r）2；（6分）
即4（4+
6
3r）=（4×
6
3r+4）2-（4r）2；
∴r=
7
6
4，（7分）
∴BC=
30；（8分）
∵∠CBF=∠BDF，sin∠BDF=[FB/DB]=[2/3]，
∴sin∠CBF=[2/3]．（9分）
（说明：只求出ÐCBF的正弦值给4分）
解法二：
连接DE、OE、EB；
由解法一，有BF=
点评：
本题考点： 切线的判定；勾股定理；圆周角定理．
考点点评： 此题主要考查学生对切线的判定，平行线的性质及勾股定理等知识点的综合运用．