Question

如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．

Answer 1

解题思路：（1）确定∠A₁CA为A₁C与平面ABCD所成角，即可求直线A₁C与平面ABCD所成角的正弦的值；

（2）根据线面平行的判定定理可得：D₁B₁∥平面GEF，同理AB₁∥平面GEF，进而根据面面平行的判定定理可得面面平行；

（3）先证明EF⊥平面AA₁C，再根据面面垂直的判定定理可得面面垂直．

（1）∵A₁C∩平面ABCD=C，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，A₁A⊥平面ABCD

∴AC为A₁C在平面ABCD的射影

∴∠A₁CA为A₁C与平面ABCD所成角

∵正方体的棱长为a

∴AC=

2a，A₁C=

3a

∴sin∠A₁CA=

A1A

A1C=

3

3；

（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中连接BD，

因为DD₁∥B₁B，DD₁=B₁B，DD₁BB₁为平行四边形

所以D₁B₁∥DB．

∵E，F分别为BC，CD的中点

∴EF∥BD，

∴EF∥D₁B₁．

∵EF⊂平面GEF，D₁B₁⊄平面GEF，

∴D₁B₁∥平面GEF

同理AB₁∥平面GEF

∵D₁B₁∩AB₁=B₁

∴平面A B₁D₁∥平面EFG．

（3）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中有AA₁⊥平面ABCD，

∵EF⊂平面ABCD∴AA₁⊥EF

∵ABCD为正方形

∴AC⊥BD

∵EF∥BD∴AC⊥EF．

又因为AA₁∩AC=A，

所以EF⊥平面AA₁C．

∵EF⊂平面EFG

∴平面AA₁C⊥面EFG．

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而利用有关的定理解决点、线、面之间的位置关系．