Question

（2005•徐州）已知α，β是关于x的一元二次方程（m-1）x2-x+1=0的两个实数根，且满足（α+1）（β+1）=m

Answer 1

解题思路：α，β是关于x的一元二次方程（m-1）x²-x+1=0的两个实数根，有α+β=[1/m−1]，αβ=[1/m−1]，

且（α+1）（β+1）=（α+β）+αβ+1代入可得（α+1）（β+1）=m+1．即可得到关于m的方程，从而求解．

∵一元二次方程（m-1）x²-x+1=0有两个实数根α，β．

∴

m−1≠0

△＝(−1)2−4(m−1)≥0，

解之得m≤[5/4]且m≠1，

而α+β=[1/m−1]，αβ=[1/m−1]，

又（α+1）（β+1）=（α+β）+αβ+1=m+1，

∴[1/m−1]+[1/m−1]=m，

解之得m₁=-1，m₂=2，经检验m₁=-1，m₂=2都是原方程的根．

∵m≤[5/4]，

∴m₂=2不合题意，舍去，

∴m的值为-1．

注：如果没有求出m的取值范围，但在求出m值后代入原方程检验，舍去m=2也正确．

点评：

本题考点： 根与系数的关系；一元二次方程的定义；解分式方程．

考点点评： 本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是−ba，两根之积是[c/a]．利用根与系数的关系把求m的问题转化为方程的问题，是解决本题的关键．