Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，且公差d＞0，它的第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第

Answer 1

解题思路：（1）利用等差数列的通项公式将第二项，第五项，第十四项用{a_n}的首项与公差表示，再据此三项成等比数列，列出方程，求出公差，利用等差数列及等比数列的通项公式求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．

（2）再写一式，两式相减，求出数列的通项，即可求数列的和．

（3）利用错位相减法求和，利用S_n＜168，建立不等式，从而可求满足条件S_n＜168最大的正整数．

（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d

∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）

∵d＞0

∴d=2

∴a_n=1+2（n-1）=2n-1

∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，

故数列{b_n}的公比是3，

∴b_n=3•3^n-2=3^n-1

（2）由

c1

b1+

c2

b2+…+

cn

bn=a_n+1

得当n≥2时，

c1

b1+

c2

b2+…+

cn−1

bn−1=a_n

两式相减得

cn

bn=a_n+1-a_n=2，

∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）

n=1时，c₁=3

∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₁=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹¹=3²⁰¹¹

（3）S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1①

∴3S_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）3ⁿ①

①-②得：-2S_n=-1+2（1+3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）×3ⁿ

∴S_n=1+（n-1）3ⁿ

∵S_n是递增数列，且知S₃=55，S₄=244

∴满足S_n＜168的最大正整数n=3．

点评：

本题考点： 等比数列的性质；数列的函数特性；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．