Question

已知丨向量a丨=根号2,丨向量b丨=3,向量a与b夹角45°,求下列向量的夹角：

Answer 1

由已知得 a*b=|a|*|b|*cos45°=3 .

（1）因为 |a+b|^2=a^2+b^2+2a*b=2+9+6=17 ,|a-b|^2=a^2+b^2-2a*b=2+9-6=5 ,

且 (a+b)*(a-b)=a^2-b^2=2-9= -7 ,

所以 cos =(a+b)*(a-b)/(|a+b|*|a-b|)= -7/(√17*√5)= -7√85/85 ,

因此 a+b、a-b 夹角为 arccos(-7√85/85) .（约为 139.4°）

（2）因为 |2a+3b|^2=4a^2+9b^2+12a*b=8+81+36=125 ,

|a-3b|^2=a^2+9b^2-6a*b=2+81-18=65 ,

(2a+3b)*(a-3b)=2a^2-9b^2-3a*b=4-81-9= -86 ,

所以 cos =(2a+3b)*(a-3b)/(|2a+3b|*|a-3b|)= -86/(√125*√65)= -86√13/325 ,

因此 2a+3b 、a-3b 的夹角为 arccos(-86√13/325) .（约为 162.6°）