已知递增数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,4Sn-4n+1=an2.设bn=[1anan+1,n∈N*,且数

1个回答

  • 解题思路:(1)由已知条件推导出an-2=an-1(n≥2)或an-2=-an-1(n≥2),由此能证明数列{an}为等差数列.

    (2)由an=2n-1,知

    a

    m

    2

    +

    a

    m+1

    2

    a

    m+2

    2

    a

    m

    a

    m+1

    =1-[6/2m−1],由此能求出所有的正整数m,使得

    a

    m

    2

    +

    a

    m+1

    2

    a

    m+2

    2

    a

    m

    a

    m+1

    为整数.

    (3)由an=2n-1,知

    b

    n

    1

    (2n−1)(2n+1)

    1

    2

    (

    1

    2n−1

    1

    2n+1

    )

    ,由此利用裂项求和法结合已知条件能求出实数λ的取值范围.

    (1)证明:由4Sn−4n+1=an2,

    得4Sn−1−4(n−1)+1=an−12(n≥2),…(2分)

    所以4an−4=an2−an−12(n≥2),

    即an2−4an+4=an−12,即(an−2)2=an−12(n≥2),

    所以an-2=an-1(n≥2)或an-2=-an-1(n≥2),

    即an-an-1=2(n≥2)或an+an-1=2(n≥2),…(4分)

    若an+an-1=2(n≥2),则有a2+a1=2,又a1=1,

    所以a2=1,则a1=a2,这与数列{an}递增矛盾,

    所以an-an-1=2(n≥2),故数列{an}为等差数列.…(6分)

    (2)由(1)知an=2n-1,

    所以

    am2+am+12−am+22

    amam+1=

    (2m−1)2+(2m+1)2−(2m+3)2

    (2m−1)(2m+1)

    =

    4m2−12m−7

    4m2−1=

    4m2−1−12m−6

    4m2−1=1−

    6/2m−1],…(8分)

    因为1−

    6

    2m−1∈Z,所以[6/2m−1∈Z,

    又2m-1≥1且2m-1为奇数,所以2m-1=1或2m-1=3,故m的值为1或2.…(10分)

    (3)由(1)知an=2n-1,则bn=

    1

    (2n−1)(2n+1)=

    1

    2(

    1

    2n−1−

    1

    2n+1),

    所以Tn=b1+b2+…+bn

    =

    1

    2[(1−

    1

    3)+(

    1

    3−

    1

    5)+…+(

    1

    2n−1−

    1

    2n+1)]

    =

    1

    2(1−

    1

    2n+1)=

    n

    2n+1],…(12分)

    从而λ•

    n

    2n+1<n+18(−1)n+1对任意n∈N*恒成立等价于:

    当n为奇数时,λ<

    (2n+1)(n+18)

    n恒成立,

    记f(n)=

    (2n+1)(n+18)

    n,则f(n)=2(n+

    9

    n)+37≥49,当n=3时取等号,所以λ<49,

    当n为偶数时,λ<

    (2n+1)(n−18)

    n恒成立.

    记g(n)=

    (2n+1)(n−18)

    n,因为g(n)=2(n−

    9

    n)−35递增,所以g(n)min=g(2)=-40,

    所以λ<-40.综上,实数λ的取值范围为λ<-40.…(16分)

    点评:

    本题考点: 数列的求和;数列递推式.

    考点点评: 本题考查等差数列的证明,考查满足条件的所有的正整数的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要注意裂项求和法的合理运用.