解题思路:(1)由已知条件推导出an-2=an-1(n≥2)或an-2=-an-1(n≥2),由此能证明数列{an}为等差数列.
(2)由an=2n-1,知
a
m
2
+
a
m+1
2
−
a
m+2
2
a
m
a
m+1
=1-[6/2m−1],由此能求出所有的正整数m,使得
a
m
2
+
a
m+1
2
−
a
m+2
2
a
m
a
m+1
为整数.
(3)由an=2n-1,知
b
n
=
1
(2n−1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)
,由此利用裂项求和法结合已知条件能求出实数λ的取值范围.
(1)证明:由4Sn−4n+1=an2,
得4Sn−1−4(n−1)+1=an−12(n≥2),…(2分)
所以4an−4=an2−an−12(n≥2),
即an2−4an+4=an−12,即(an−2)2=an−12(n≥2),
所以an-2=an-1(n≥2)或an-2=-an-1(n≥2),
即an-an-1=2(n≥2)或an+an-1=2(n≥2),…(4分)
若an+an-1=2(n≥2),则有a2+a1=2,又a1=1,
所以a2=1,则a1=a2,这与数列{an}递增矛盾,
所以an-an-1=2(n≥2),故数列{an}为等差数列.…(6分)
(2)由(1)知an=2n-1,
所以
am2+am+12−am+22
amam+1=
(2m−1)2+(2m+1)2−(2m+3)2
(2m−1)(2m+1)
=
4m2−12m−7
4m2−1=
4m2−1−12m−6
4m2−1=1−
6/2m−1],…(8分)
因为1−
6
2m−1∈Z,所以[6/2m−1∈Z,
又2m-1≥1且2m-1为奇数,所以2m-1=1或2m-1=3,故m的值为1或2.…(10分)
(3)由(1)知an=2n-1,则bn=
1
(2n−1)(2n+1)=
1
2(
1
2n−1−
1
2n+1),
所以Tn=b1+b2+…+bn
=
1
2[(1−
1
3)+(
1
3−
1
5)+…+(
1
2n−1−
1
2n+1)]
=
1
2(1−
1
2n+1)=
n
2n+1],…(12分)
从而λ•
n
2n+1<n+18(−1)n+1对任意n∈N*恒成立等价于:
当n为奇数时,λ<
(2n+1)(n+18)
n恒成立,
记f(n)=
(2n+1)(n+18)
n,则f(n)=2(n+
9
n)+37≥49,当n=3时取等号,所以λ<49,
当n为偶数时,λ<
(2n+1)(n−18)
n恒成立.
记g(n)=
(2n+1)(n−18)
n,因为g(n)=2(n−
9
n)−35递增,所以g(n)min=g(2)=-40,
所以λ<-40.综上,实数λ的取值范围为λ<-40.…(16分)
点评:
本题考点: 数列的求和;数列递推式.
考点点评: 本题考查等差数列的证明,考查满足条件的所有的正整数的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要注意裂项求和法的合理运用.