证明：
1）
RT△BAC中,AB=AC
∠ABC=∠ACB=45°
因为：BE是∠ABC平分线
所以：∠ABE=∠CBE=22.5°
因为：AD⊥BC
所以：AD=BD=CD
所以：∠AEF=67.5°,∠EAF=45°
所以：∠AFE=∠AEF=67.5°
所以：AF=AE
因为：M是底边EF中点
所以：AM是等腰△AEF的底边EF的中垂线（三线合一）
所以：∠DAN=∠DBF=22.5°
所以：RT△BDF≌RT△ADN（角角边）
所以：DF=DN
2）
由1）知道,AD=BD=CD,DF=DN,AF=AE
所以：AE=AF=AD-DF=CD-DN=CN
所以：AE=CN
3）
∠DNM=67.5°,由（1）知道AM是等腰三角形AEF底边的中垂线
所以：AM⊥EF
所以：BM⊥AN
因为：∠BAM=∠BNM=67.5°
所以：BM是等腰三角形BAN底边AN的中垂线
所以：AM=NM
所以：点M是RT△ADN斜边AN上的中点
所以：AM=DM=NM
所以：△DMN是等腰三角形
4）
由3）知道,∠MAD=∠MDA=22.5°
所以：∠BMD=180°-∠MBD-∠BDM=180°-22.5°-(90°+22.5°)=45°
所以：∠BMD=45°